加速度傳感器 積分：c語言加速度積分得到速度_一文讀懂加速度傳感器
來源：傳感器技術(shù)?
文 | 傳感器技術(shù)
加速度是描述物體速度變化快慢的物理量，通過測量由于重力引起的加速度，你可以計算出設(shè)備相對于水平面的傾斜角度。通過分析動態(tài)加速度，你可以分析出設(shè)備移動的方式。
為了測量并計算這些物理量，便產(chǎn)生了加速度傳感器。
加速度傳感器?
加速度傳感器是一種能夠測量加速力，將加速度轉(zhuǎn)換為電信號的電子設(shè)備。加速力就是當(dāng)物體在加速過程中作用在物體上的力，就好比地球引力，也就是重力。加速力可以是個常量，比如g，也可以是變量。加速度計有兩種：一種是角加速度計，是由陀螺儀(角速度傳感器)的改進的。另一種就是線加速度計。
加速度傳感器可應(yīng)用在工業(yè)控制、儀器儀表；手柄振動和搖晃、玩具、鼠標(biāo)；汽車制動啟動檢測、報警系統(tǒng)；結(jié)構(gòu)物、環(huán)境監(jiān)視；工程測振、地質(zhì)勘探、地震檢測；鐵路、橋梁、大壩的振動測試與分析；高層建筑結(jié)構(gòu)動態(tài)特性和安全保衛(wèi)振動偵察上。
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加速度傳感器的分類及原理
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根據(jù)牛頓第二定律：A(加速度)=F(力)/M(質(zhì)量)
只需測量作用力F就可以得到已知質(zhì)量物體的加速度。利用電磁力平衡這個力，就可以得到作用力與電流(電壓)的對應(yīng)關(guān)系，通過這個簡單的原理來設(shè)計加速度傳感器。
所以，加速度傳感器的本質(zhì)是通過作用力造成傳感器內(nèi)部敏感部件發(fā)生變形，通過測量其變形并用相關(guān)電路轉(zhuǎn)化成電壓輸出，得到相應(yīng)的加速度信號。
加速度傳感器按工作原理又分為四種：
1、壓電式加速度傳感器
壓電式加速度傳感器是基于壓電晶體的壓電效應(yīng)工作的。
某些晶體在一定方向上受力變形時，其內(nèi)部會產(chǎn)生極化現(xiàn)象，同時在它的兩個表面上產(chǎn)生符號相反的電荷；當(dāng)外力去除后，又重新恢復(fù)到不帶電狀態(tài)，這種現(xiàn)象稱為“壓電效應(yīng)”。
具有“壓電效應(yīng)”的晶體稱為壓電晶體。常用的壓電晶體有石英、壓電陶瓷等。
在加速度計受振時，質(zhì)量塊加在壓電元件上的力也隨之變化。當(dāng)被測振動頻率遠低于加速度計的固有頻率時，則力的變化與被測加速度成正比。
圖 ? 壓電式加速度計的結(jié)構(gòu)
S是彈簧 M是質(zhì)量塊 B是基座 P是壓電元件 R是夾持環(huán)
圖a是中央安裝壓縮型，壓電元件—質(zhì)量塊—彈簧系統(tǒng)裝在圓形中心支柱上，支柱與基座連接。這種結(jié)構(gòu)有高的共振頻率。然而基座B與測試對象連接時，如果基座B有變形則將直接影響拾振器輸出。此外，測試對象和環(huán)境溫度變化將影響壓電元件，并使預(yù)緊力發(fā)生變化，易引起溫度漂移。
圖b為環(huán)形剪切型，壓電元件由夾持環(huán)將其夾牢在三角形中心柱上。加速度計感受軸向振動時，壓電元件承受切應(yīng)力。這種結(jié)構(gòu)對底座變形和溫度變化有極好的隔離作用，有較高的共振頻率和良好的線性。
圖c為三角剪切形，結(jié)構(gòu)簡單，能做成極小型、高共振頻率的加速度計，環(huán)形質(zhì)量塊粘到裝在中心支柱上的環(huán)形壓電元件上。由于粘結(jié)劑會隨溫度增高而變軟，因此最高工作溫度受到限制。
壓電式加速度傳感器具有動態(tài)范圍大、頻率范圍寬、堅固耐用、受外界干擾小以及壓電材料受力自產(chǎn)生電荷信號不需要任何外界電源等特點，是被最為廣泛使用的振動測量傳感器。
雖然壓電式加速度傳感器的結(jié)構(gòu)簡單，商業(yè)化使用歷史也很長，但因其性能指標(biāo)與材料特性、設(shè)計和加工工藝密切相關(guān)，因此在市場上銷售的同類傳感器性能的實際參數(shù)以及其穩(wěn)定性和一致性差別非常大。與壓阻和電容式相比，其最大的缺點是壓電式加速度傳感器不能測量零頻率的信號。
2、壓阻式加速度傳感器
壓阻式加速度傳感器是最早開發(fā)的硅微加速度傳感器(基于MEMS硅微加工技術(shù))，壓阻式加速度傳感器的彈性元件一般采用硅梁外加質(zhì)量塊，質(zhì)量塊由懸臂梁支撐，并在懸臂梁上制作電阻，連接成測量電橋。在慣性力作用下質(zhì)量塊上下運動，懸臂梁上電阻的阻值隨應(yīng)力的作用而發(fā)生變化，引起測量電橋輸出電壓變化，以此實現(xiàn)對加速度的測量。
圖 ?壓阻式加速度傳感器原理圖
壓阻式硅微加速度傳感器的典型結(jié)構(gòu)形式有很多種，已有懸臂梁、雙臂梁、4梁和雙島-5梁等結(jié)構(gòu)形式。彈性元件的結(jié)構(gòu)形式及尺寸決定傳感器的靈敏度、頻響、量程等。質(zhì)量塊能夠在較小的加速度作用下，使得懸臂梁上的應(yīng)力較大，提高傳感器的輸出靈敏度。
在大加速度下，質(zhì)量塊的作用可能會使懸臂梁上的應(yīng)力超過屈服應(yīng)力，變形過大，致使懸臂梁斷裂。為此高gn值加速度擬采用質(zhì)量塊和梁厚相等的單臂梁和雙臂梁的結(jié)構(gòu)形式，如圖所示。
圖 ?雙臂梁結(jié)構(gòu)
基于世界領(lǐng)先的MEMS硅微加工技術(shù)，壓阻式加速度傳感器具有體積小、低功耗等特點，易于集成在各種模擬和數(shù)字電路中，廣泛應(yīng)用于汽車碰撞實驗、測試儀器、設(shè)備振動監(jiān)測等領(lǐng)域。
應(yīng)變壓阻式加速度傳感器的敏感芯體為半導(dǎo)體材料制成電阻測量電橋，其結(jié)構(gòu)動態(tài)模型仍然是彈簧質(zhì)量系統(tǒng)。
現(xiàn)代微加工制造技術(shù)的發(fā)展使壓阻形式敏感芯體的設(shè)計具有很大的靈活性以適合各種不同的測量要求。在靈敏度和量程方面，從低靈敏度高量程的沖擊測量，到直流高靈敏度的低頻測量都有壓阻形式的加速度傳感器。
同時壓阻式加速度傳感器測量頻率范圍也可從直流信號到具有剛度高，測量頻率范圍到幾十千赫茲的高頻測量。超小型化的設(shè)計也是壓阻式傳感器的一個亮點。需要指出的是盡管壓阻敏感芯體的設(shè)計和應(yīng)用具有很大靈活性，但對某個特定設(shè)計的壓阻式芯體而言其使用范圍一般要小于壓電型傳感器。
壓阻式加速度傳感器的另一缺點是受溫度的影響較大，實用的傳感器一般都需要進行溫度補償。在價格方面，大批量使用的壓阻式傳感器成本價具有很大的市場競爭力，但對特殊使用的敏感芯體制造成本將遠高于壓電型加速度傳感器。
壓阻式加速度傳感器
3、電容式加速度傳感器
電容式加速度傳感器是基于電容原理的極距變化型的電容傳感器。其中一個電極是固定的，另一變化電極是彈性膜片。彈性膜片在外力(氣壓、液壓等)作用下發(fā)生位移，使電容量發(fā)生變化。這種傳感器可以測量氣流(或液流)的振動速度(或加速度)，還可以進一步測出壓力。
電容式加速度傳感器原理圖
電容式加速度傳感器，具有電路結(jié)構(gòu)簡單，頻率范圍寬約為0～450Hz，線性度小于1%，靈敏度高，輸出穩(wěn)定，溫度漂移小，測量誤差小，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，輸出阻抗低，輸出電量與振動加速度的關(guān)系式簡單方便易于計算等優(yōu)點，具有較高的實際應(yīng)用價值。
但不足之處表現(xiàn)在信號的輸入與輸出為非線性，量程有限，受電纜的電容影響，以及電容傳感器本身是高阻抗信號源，因此電容傳感器的輸出信號往往需通過后繼電路給于改善。在實際應(yīng)用中電容式加速度傳感器較多地用于低頻測量，其通用性不如壓電式加速度傳感器，且成本也比壓電式加速度傳感器高得多。
電容式加速度傳感器
電容式加速度傳感器/電容式加速度計是對比較通用的加速度傳感器。在某些領(lǐng)域無可替代，如安全氣囊，手機移動設(shè)備等。電容式加速度傳感器/電容式加速度計采用了微機電系統(tǒng)(MEMS)工藝。在大量生產(chǎn)時變得經(jīng)濟，從而保證了較低的成本。
4、伺服式加速度傳感器
當(dāng)被測振動物體通過加速度計殼體有加速度輸入時，質(zhì)量塊偏離靜平衡位置，位移傳感器檢測出位移信號，經(jīng)伺服放大器放大后輸出電流，該電流流過電磁線圈，從而在永久磁鐵的磁場中產(chǎn)生電磁恢復(fù)力，迫使質(zhì)量塊回到原來的靜平衡位置，即加速度計工作在閉環(huán)狀態(tài)，傳感器輸出與加速度計成一定比例的模擬信號，它與加速度值成正比關(guān)系。
伺服式加速度傳感器原理圖
伺服式加速度傳感器是一種閉環(huán)測試系統(tǒng)，具有動態(tài)性 能好、動態(tài)范圍大和線性度好等特點。其工作原理，傳感器的振動系統(tǒng)由 "m-k”系統(tǒng)組成，與一般加速度計相同，但質(zhì)量m上還接著一個電磁線圈，當(dāng)基座上有 加速度輸入時，質(zhì)量塊偏離平衡位置，該位移大小由位移傳感器檢測出來，經(jīng)伺服放大器 放大后轉(zhuǎn)換為電流輸出，該電流流過電磁線圈，在永久磁鐵的磁場中產(chǎn)生電磁恢復(fù)力，力圖使質(zhì)量塊保持在儀表殼體中原來的平衡位置上，所以伺服加速度傳感器在閉環(huán)狀態(tài)下工作。
由于有反饋作用，增強了抗干擾的能力，提高測量精度，擴大了測量范圍，伺服加速度 測量技術(shù)廣泛地應(yīng)用于慣性導(dǎo)航和慣性制導(dǎo)系統(tǒng)中，在高精度的振動測量和標(biāo)定中也有應(yīng)用。
5、三軸加速度傳感器
也是基于加速度的基本原理去實現(xiàn)工作的，加速度是個空間矢量，一方面，要準(zhǔn)確了解物體的運動狀態(tài)，必須測得其三個坐標(biāo)軸上的分量；另一方面，在預(yù)先不知道物體運動方向的場合下，只有應(yīng)用三軸加速度傳感器來檢測加速度信號。
由于三軸加速度傳感器也是基于重力原理的，因此用三軸加速度傳感器可以實現(xiàn)雙軸正負90度或雙軸0-360度的傾角，通過校正后期精度要高于雙軸加速度傳感器大于測量角度為60度的情況。
目前的三軸加速度傳感器/三軸加速度計大多采用壓阻式、壓電式和電容式工作原理，產(chǎn)生的加速度正比于電阻、電壓和電容的變化，通過相應(yīng)的放大和濾波電路進行采集。
三軸加速度傳感器具有體積小和重量(gm)輕特點，可以測量空間加速度，能夠全面準(zhǔn)確反映物體的運動性質(zhì)，在航空航天、機器人、汽車和醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。
幾種加速度傳感器的比較
在加速度傳感器的實際使用中，還要根據(jù)不同的應(yīng)用場景和產(chǎn)品特性，要做合理的選型方案，以及產(chǎn)品的安裝維護等，我們將在后續(xù)的篇幅中為大家介紹。
加速度傳感器 積分：c語言加速度積分得到速度_加速度傳感器的正確使用方法
加速度傳感器的正確使用方法
加速度傳感器的構(gòu)造和用途
壓電型加速度傳感器在靈敏度方面與其他形式的傳感器相比，具有較高的共振頻率，因此在各個領(lǐng)域被廣泛應(yīng)用。其構(gòu)造大致分為以下三類。
（a）壓縮型
即在基座與質(zhì)量塊中間用螺絲固定壓電體的構(gòu)造。由于機械強度極高，可以對應(yīng)高強度沖擊力的測量。但缺點在于壓電體的極化方向與電流輸出的方向一致，因此容易受到電熱氣的影響。但是電熱氣造成的噪聲頻率成分是低頻（數(shù)Hz以下），因此可以通過低通濾波器消除。
圖1 壓縮型
壓縮型傳感器的共振頻率高，因此不僅適用于一般振動測量，也適用于高速旋轉(zhuǎn)機器、管道泄漏等高頻振動測量。
（b）剪切型
因為壓電體的極化方向與電流輸出方向成 90°垂直，因此幾乎沒有電熱氣的輸出。（電熱氣對于極化方向表現(xiàn)在垂直面上）構(gòu)造如圖2中壓電體的雙面電極上產(chǎn)生錯位。
圖2 剪切型
（c）撓曲型
與雙壓電晶片的原理相同，利用了壓電體的橫向效果。壓電體薄板粘接在金屬板上，使其彎曲后對壓電體施加橫向的應(yīng)力，并根據(jù)彎曲程度按比例輸出。
圖3 撓曲型
根據(jù)用途、規(guī)格，構(gòu)造可以分為中心固定、兩端固定、一端固定三種方式。撓曲型的共振頻率并不是很高，但在低頻域中具有高靈敏度，因此適用于地震地基振動、水壩發(fā)電站等大型建筑物的微型振動測量。 下面列舉出各個類型的優(yōu)勢，請根據(jù)應(yīng)用需求來進行選擇。
（壓縮型）
機械強度高。（最大使用加速度大）
對于共振頻率靈敏度高。（可以對應(yīng)高頻域）
（剪切型）
熱噪音小。
基座張力靈敏度小。
與主機重量相比可以制作出靈敏度高的傳感器
（撓曲型）
在低頻范圍內(nèi)具有極高的靈敏度
可制作出小巧輕便的傳感器
加速度傳感器的安裝方法
固定加速度傳感器時最關(guān)鍵的是保證基座底面與振動體表面完全緊密貼合。因此加速度傳感器基座的底面是精加工的,而且中心位置有固定傳感器用的螺絲孔。理想狀態(tài)是將振動體表面盡可能的打磨平滑，并在接觸面涂抹上硅油或潤滑油，用螺絲鉗固定牢固。固定狀態(tài)的好壞直接影響測量效果，特別是在高頻特性中影響比較大。
接觸面混有鐵粉、砂礫等
螺栓傾斜
理想固定狀態(tài)
螺栓淺
(螺絲長)
圖4 加速度傳感器的安裝方法
但是在實際測量中有很多情況是不能完全滿足以上條件的，比如銼刀表面即使研磨也很難達到平滑的程度。這種情況下，涂抹硅油、潤滑劑于凹凸表面，提高接觸面的剛性、緊密性。
公稱直徑
標(biāo)準(zhǔn)安裝扭矩
M 3
6[kg-cm]
M 4
16
M 5
30
M 6
50
M 8
120
材質(zhì)：S45C 普通鋼
圖5 參考安裝扭矩
下面對使用各種選配件安裝進行說明。
[絕緣螺栓]
絕緣螺栓可將傳感器基座與 GND 絕緣開，為了防止接地回路造成的噪聲混入。安裝時應(yīng)注意采用與安裝傳感器同樣的步驟，首先將絕緣螺栓安裝在傳感器上，然后利用絕緣螺栓的六角部分固定在振動體上。此時在接觸面涂抹上硅油比較好。另外，安裝扭矩請參考圖5。
圖6絕緣螺栓的安裝方法
[磁吸夾具]
振動體屬于金屬材質(zhì)的話，可以使用磁吸夾具來固定。根據(jù)與振動體的接觸狀況磁吸夾具的高頻特性會有明顯不同，因此需要盡量將振動體表面研磨平滑。涂抹硅油后緊密性提高，可以基本達到螺絲固定的高頻特性效果。另外，根據(jù)傳感器質(zhì)量高頻特性會相應(yīng)變化。
[常規(guī)螺帽]
螺栓無法在振動體上直立或無法吸附磁鐵時，可以使用粘結(jié)劑、雙面膠。但是在加速度傳感器基座底面直接涂抹粘結(jié)劑的話，在拆除時可能會損壞基座底面或粘結(jié)劑殘留在固定螺絲里面，對今后的測量帶來很大影響，因此不推薦此方法。此時可以使用常規(guī)螺帽。這種常規(guī)螺帽只有一邊可固定螺絲，另一邊則是平滑的表面，因此適用于使用粘結(jié)劑固定的情況。另外，這種常規(guī)螺帽安裝便利可以再加工。
低噪音電纜
由于壓電型加速度傳感器的輸出電阻非常高，因此電纜在受到機械彎曲變形時產(chǎn)生的靜電噪聲會對其產(chǎn)生影響。
同軸電纜在受到機械彎曲變形時，如圖 10.3.1 所示屏蔽覆蓋導(dǎo)體與絕緣體分離，形成局部電容器。再通過摩擦存儲電荷，電荷通過導(dǎo)體由電荷放大器放電后就形成了噪音。我們稱之為摩擦效應(yīng)。
圖7同軸電纜的摩擦效應(yīng)
為了降低其影響，不形成局部電容器一般使用低噪聲電纜，此類電纜在絕緣體表面進行包膜處理，即使出現(xiàn)導(dǎo)體與絕緣體分離的情況也不會產(chǎn)生電容器，也就不會產(chǎn)生摩擦效應(yīng)。但是在實際測量中，使用低噪聲電纜還是需要固定好盡量不產(chǎn)生機械運動。
低頻低速振動測量
在測量低頻低速振動時，特別是測量系統(tǒng)整體需要確保高 S/N 比。那就需要選擇極高靈敏度的加速度傳感器。（P52S 或 P13S 等）根據(jù)測量目的選擇低頻截止頻率。如果響應(yīng)范圍超出必要范圍擴展到低頻，在急劇的溫度變化下就會混入電熱氣噪聲，成為S/N比惡化的原因。在溫度急劇變化的情況下，如果需要測量數(shù) Hz 以下的話，請選用剪切型加速度傳感器。
沖擊以及過載振動測量
測量沖擊振動時，包括加速度傳感器在內(nèi)的測量系統(tǒng)的過度應(yīng)答特性十分重要。沖擊頻率低時，即脈沖幅度變大時零點漂移造成的誤差會非常明顯。這由系統(tǒng)的低頻特性來決定。另外，沖擊頻率變高時，振鈴造成的誤差會變大。這由系統(tǒng)的高頻特性來決定。零點漂移雖然對波形的實效值沒有影響，但在測量峰值時需要考慮進去。特別是通過積分器求得速度、位移時需要注意。 在實際進行沖擊測量時，所需要的系統(tǒng)時間常數(shù)或固有共振頻率的數(shù)值，請參考下表(1)、(2) 、(3)中的記錄。
半正弦波
表(1)
單個矩形波
表(2)
半正弦波以及半三角波
但將加速度傳感器的衰減比定為
。
表(3)
振動物體質(zhì)量輕的情況
壓電型加速度傳感器從原理上屬于接觸型振動傳感器。因此進行振動測量時通常會把傳感器的動態(tài)質(zhì)量計算進去。傳感器的質(zhì)量最多數(shù)10gr，因此對于一般測量沒有任何影響。但是在測量質(zhì)量比較輕的振動體時，加上傳感器重量的話就會影響振動體的振動模式。特別是測量輕薄的振動板的共振特性時，加了傳感器就會造成共振頻率下降。這種情況下，就需要使用小型輕量的傳感器了。作為一般的解決方案傳感器的自重要保證在被測振動物體質(zhì)量的 1/10 以下。
但是，
ap：安裝加速度傳感器時樣品的加速度
fp：安裝加速度傳感器時樣品的共振頻率
a0：不安裝加速度傳感器時樣品的加速度
f0：不安裝加速度傳感器時樣品的共振頻率
m0：樣品的有效質(zhì)量（mg）
mp：傳感器的有效質(zhì)量（mg）
振動物體質(zhì)量輕的情況
在測量系統(tǒng)有 2 個以上接地點時就會產(chǎn)生接地回路中的交流聲。這是由于各個接地點之間有若干的電位差，在測量系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生了接地電流循環(huán)。
圖8 多點接地的接地回路
為了防止交流聲的產(chǎn)生系統(tǒng)整體采用單點接地。因此需要使用絕緣型的加速度傳感器，使用絕緣螺栓或絕緣磁吸夾具比較好。系統(tǒng)整體的接地最理想的是從在最后一段的測量儀的輸入端接地中獲取。因此不僅是傳感器，放大器以及測量儀都需要采用浮地技術(shù)。
加速度傳感器 積分：加速度傳感器積分計算位移會有哪些問題
加速度與位移公式：(vt2-v02)=2as，s=v0t+at2/2，s2-s1=aT2等。位移，用位移表示物體(質(zhì)點)的位置變化。加速度是表征單位時間內(nèi)速度改變程度的矢量。當(dāng)然，這是在加速度恒定的時候，現(xiàn)實狀況是加速度在不停的變化，因此我們必須通過積分來計算，原理就是將這個位移過程分成無數(shù)分，每一份近似等于一條線段，然后把他們統(tǒng)計成最后的位移量。然后這只是理論情況，實際使用的時候還是會有一些問題。
首先，加速度計的作用是敏感加速度，但要注意的是，根據(jù)相對論，加速度與引力是等效的，那么加速度計就會敏感出重力場，1g。
就是因為這個原因，如果你的項目沒有前提，比如水平方置，只測水平位移，速度，會變得復(fù)雜。比如考慮三維空間的位移，速度測量，你要做的是獲得被測物體相對于導(dǎo)航坐標(biāo)系的姿態(tài)，得出兩個坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣，通過這個矩陣與加速度計的輸出相乘，獲得導(dǎo)航系的比力，這個矢量再減去重力場矢量，就可以獲得物體的真實加速度，再做積分獲得速度和位置。
然而，這種基于積分的測量，最大的問題是誤差累積導(dǎo)致發(fā)散，因為傳感器始終存在自己的誤差，例如傳感器在靜止時的輸出信號并不是0g，就算只是一個很小的值，但隨著積分計算的累加，這個誤差會越來越大，所以你需要其他傳感器去校正，比如里程計，GPS等。
如果你的項目有約束前提，可以大大化簡這些工作，比如約束在導(dǎo)軌，水平面等，你就不會面臨全狀態(tài)姿態(tài)解算的問題。否則，你要做的是在三維空間自由運動的物體的位置速度檢測。
在智能產(chǎn)品中，加速度傳感器用的最多的地方就是計算步數(shù)，因為每個人的步長基本上都是固定的，所以傳感器的輸出波形也基本上相同，再輔助手機自帶的GPS定位，能夠知道人的活動軌跡，所以基本上能精確的計算出每天的步數(shù)。
加速度積分算位移并非一個簡單的積分過程，建議對這方面感興趣的朋友，可以多看看慣性導(dǎo)航，多個傳感器融合等方面的論文等資料，把問題認識得全面些。
版權(quán)聲明： 本文由 羅工 原創(chuàng)，如果喜歡這篇文章《
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加速度傳感器 積分：加速度積分得到速度
首先，相信大家都嘗試過直接在時域中通過加速度傳感器積分得到位移。在加速度精度不高或者加速度數(shù)據(jù)不經(jīng)處理的情況下，積分得到的位移量會一直有一個累計誤差，而且會越來越大，這時有人就會把目光移到頻域中，在頻域中對加速度進行積分會怎樣呢？會不會有出乎意料的效果呢？
什么是頻域積分
單片機或者傳感器采樣得到的點都是離散的，在時域中，對于離散點的積分就是求和。
而頻域積分需要先把時域的數(shù)組通過快速傅里葉變換（FFT）轉(zhuǎn)到頻域，再通過傅里葉變換的積分性質(zhì)，在頻域中實現(xiàn)積分與濾波0后，通過IFFT傅里葉逆變換返回時域，此時得到的數(shù)組即為時域數(shù)組的積分結(jié)果。傅里葉變換的原理此處不再贅述，大概的作用就是把一個時域上的信號波形分解成若干個單一頻率信號的疊加，通俗點講就是通過無窮多個幅度、頻率不同的正弦波的疊加去近似原信號的波形，而傅里葉變換得到的頻譜就是這些不同頻率正弦波形對應(yīng)的幅值。這里丟兩張動圖方便理解。
而頻域的積分需要用到傅里葉變換的積分性質(zhì)：
一次積分
二次積分
這兩個公式將時域積分放到了到頻域做，去掉了積分符號，看起來比較復(fù)雜，其實如果以不變量一個變量地看都比較簡單。
如何實現(xiàn)頻域積分
用程序語言描述傅里葉變換的積分性質(zhì)，看似復(fù)雜，其實只需要把這個公式每一項單獨求出即可。
下面步驟是參考了《matlab在振動信號處理中的應(yīng)用》（王濟 著）中第五章頻域積分。
1. 獲得時域數(shù)組
?假設(shè)加速度的采樣頻率sf為1kHz，則需要先采集一段時間的數(shù)據(jù)得到時域數(shù)組，為FFT計算方便起見，nfft取2的冪次個采樣點如1024個點；
2.?計算FFT?
對這1024個點做FFT快速傅里葉變換得到頻譜，即上面公式中的F(ω)，將F(ω)取模長后我們會發(fā)現(xiàn)該圖形是個關(guān)于500Hz對稱的圖形（第一個點為F(0)，不對稱），如圖：
3. ?計算ω數(shù)組
?要獲得ω數(shù)組首先需要算出頻率間隔df，因為采樣頻sf率是1000Hz，而整個數(shù)組長度為1024，所以df=sf/nff，單位(Hz/s)，通過計算df把時域中采樣的時間點和頻域中的頻率點一一對應(yīng)起來，再說直白點就是時域中采樣點的時間間隔是1/1000Hz=1ms，而頻域中的的頻率間隔是1000/1024=0.977Hz，我們FFT得到的頻譜每個值之間間隔0.977Hz，1024個點對應(yīng)0~1000Hz。?ω數(shù)組也是對稱的（或中心對稱），分為正離散圓頻率向量和負離散圓頻率向量。先將剛才得到的頻率間隔df轉(zhuǎn)換為角頻率間隔dω，dω=2π*df。ω數(shù)組計算公式如下，其中n為積分次數(shù)：
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?一次積分的ω數(shù)組的與二次積分的ω數(shù)組如圖所示：
?
4. ?虛數(shù) j
得到?ω數(shù)組后就是處理 j 了，j 是單位虛數(shù)，j的平方為-1。積分公式中F(ω)除了一個 j，而 j 在頻域中表示相移，每乘一個 j 就逆時針旋轉(zhuǎn)了90度，每除一個j，順時針旋轉(zhuǎn)90度。也就是說，時域的一次積分轉(zhuǎn)到頻域后需要順時針旋轉(zhuǎn)90度，而二次積分需要順時針旋轉(zhuǎn)180度。
5. 進行積分的頻域變換?
?頻域變換就是第二步中FFT的結(jié)果（即1024個復(fù)數(shù)）依次除以?ω數(shù)組。
6. 進行積分的相位變換?
?第4步中提到一次積分順時針旋轉(zhuǎn)90度，而二次積分順時針旋轉(zhuǎn)180度。相位變換就是把第5步得到的復(fù)數(shù)數(shù)組每個復(fù)數(shù)都旋轉(zhuǎn)，假設(shè)實部為real，虛部為imag，一次積分時虛部等于實部imag=real，實部等于負虛部real=-imag；二次積分時實部等于負實部real=-real，虛部等于負虛部imag=-imag（更正：圖中二次積分的虛部應(yīng)為“-”不是“+”，感謝評論區(qū)小伙伴指正）
7. ?濾波
?此時如果不進行濾波直接跳到第8步就能得到時域的二次積分結(jié)果。如果想把其中的低頻和高頻部分濾除，則可以將第6步得到的復(fù)數(shù)數(shù)組中的開頭幾個復(fù)數(shù)和最后幾個復(fù)數(shù)直接置零，假設(shè)需要濾除Fmin=10Hz以下的部分，先計算出10Hz大概是哪個點ni=Fim/df+1，10/0.977+1≈11，即把第6步得到的復(fù)數(shù)數(shù)組前11個復(fù)數(shù)都置位0，濾高頻同理。
補充：以上方法其實就是用了矩形窗函數(shù)，如果想要達到不同的濾波效果，可以考慮其他窗函數(shù)如漢寧窗、海明窗、高斯窗等等。
8. ?IFFT返回時域
?最后通過IFFT將處理完的復(fù)數(shù)數(shù)組轉(zhuǎn)回時域，得到積分結(jié)果。
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附上MATLAB代碼，C語言代碼點擊下面鏈接
基于STM32F4的加速度頻域二次積分振動位移C語言算法?
基于STM32F407與JY901模塊的加速度頻域積分實現(xiàn)（完整工程）
局限性
但是上面的計算思路僅局限于振動的位移計算，也就是說總位移為0，當(dāng)總位移不為0時，我們的積分結(jié)果最終還是會等于0，下面看一下仿真結(jié)果
圖一是原始數(shù)據(jù)，圖三為圖一的積分，積分結(jié)果不為0，圖二為FFT后去除最低頻信號（即直流部分）后再IFFT的波形，可以看到整個圖形都向下偏移了一段距離，圖四為圖二的積分結(jié)果，最終為0，這與實際積分結(jié)果嚴(yán)重不符。因為根據(jù)傅里葉變換公式當(dāng)ω=0時，，可見F(0)本身就等于時域圖形的積分，而濾低頻時將其直接置為0，最后的積分結(jié)果當(dāng)然為0，也就是說上述頻域積分僅適用于總積分為0的情況。
若濾除直流部分，最終積分為0，若不濾除直流分量部分，又無法消除加速度積分后的累計誤差，因此互相矛盾。所以頻域積分不適用于總位移不為0的加速度積分。
非零位移
關(guān)于非零位移的問題，首先我們要清楚加速度計累積誤差的來源，加速度計都帶有一定的線性偏移，即需要通過kx+b的方法進行校正，而其中的b正是引起加速度積分累積誤差的罪魁禍?zhǔn)祝虼诵枰獙铀俣冗M行線性補償，可通過Matlab中的lsqcurvefit，非線性擬合文中提到的方法確定k和b，如果在要求不是很嚴(yán)格的場合，只需要對b進行補償即可，方法是在確定系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時（通過其他方式確定的系統(tǒng)狀態(tài)），首先令速度為零，然后將一段時間內(nèi)的加速度取平均即可作為補償值b，每隔適當(dāng)時間校正一次b這樣就能保證速度基本無累積誤差，然后用同樣的方法計算位移。
但是上述方法仍然有比較大的誤差存在，僅加速度計顯然無法精確求得位移，因此需要增加其他傳感器。對于在平面上運動的系統(tǒng)，建議增加GPS，如果是在垂直方向上運動的系統(tǒng)則可以增加氣壓計，然后通過卡爾曼濾波對兩組數(shù)據(jù)進行數(shù)據(jù)融合，能得到比較準(zhǔn)確的位移、速度和加速的。具體方法可以參考這篇博文：二階卡爾曼濾波計算加速度、速度及高度
